Progettazione di un sistema di controllo per un ROV sottomarino: sintesi dei controllori 3/4

Nella parte precedente è stato introdotto il modello matematico in ambiente Simulink. Tuttavia a causa della non linearità del sistema in esame, si è proceduti con la linearizzazione del modello intorno ad un punto di equilibrio, il cui risultato ha restituito una matrice di funzioni di trasferimento 3×3.

Per motivi semplificativi si è verificata la dominanza diagonale di tale matrice; in pratica ciascuna variabile di ingresso (Tx,Ty,Tz) oltre ad essere legata alla rispettiva uscita (Tx->x, Ty->y, Tz->\phi) con la funzione posta sulla diagonale, è legata anche alla dinamica delle due uscite rimanenti. Prima di procedere con la sintesi occorre estrarre dalla matrice di trasferimento le tre f.d.t diagonali, ognuna delle quali lega un ingresso con una uscita.

 

Ricapitolando, a partire dal modello non lineare fino alla matrice di trasferimento:

Verificata la dominanza diagonale si ottiene:

SINTESI PER LA VARIABILE X

SPECIFICHE DI SINTESI

Una volta recuperate le tre f.d.t effettuiamo la sintesi dei controllori. Innanzitutto bisogna prendere in considerazione le specifiche da rispettare:

1)e_{1}\leqslant 0.05

2)B_{3}=0.1 Hz

3)M_{r}=8340

1) errore a regime

la prima specifica implica che \frac{K_{d}^2}{K_f}=\frac{1}{K_g}=K_p*0.05 Si ha quindi che 1*K_g\geqslant 8340

Dato che ogni sistema è affetto da incertezze parametriche scegliamo un valore più grande per garantire un margine di sicurezza, per cui K_{g}=8400

2) Banda passante B_{3}

la pulsazione di attraversamento è legata alla banda con la relazione:

\omega_{t}=3:5 B_{3}

scegliamo, come fattore 4, per cui la pulsazione di attraversamento vale \omega_{t}=4*0.1=0.4 \frac{rad}{s}

3) Modulo alla risonanza M_{r}

analizzando la carta di Nichols  tale specifica corrisponde ad un margine di fase pari a:

m_{\phi}>=47^{\circ}

 

 

FDT

La funzione a cui facciamo riferimento è:

che fattorizzata corrisponde a:

Il controllore di primo tentativo progettato sarà:

G(s)=\frac{K_{g}}{s}

Verifichiamo i diagrammi di bode della catena diretta P(s)*G(s):

Con il controllore progettato il margine di fase non è rispettato, in effetti come si vede dal grafico, e come confermato dal comando matlab si ha:

 

 

 

 

 

 

 

Il modulo è di 22.19 dB quindi abbiamo bisogno di una rete attenuatrice. Il margine di fase è pari a circa -82° quindi abbiamo bisogno di una rete anticipatrice.

Procediamo prima con l’anticipatrice in modo da garantire un margine di fase accettabile nella fase di attenuazione.Utilizziamo una tripla rete anticipatrice del tipo:

Scegliamo \omega\tau_{a}=2 con m_{a}=30, questa rete aumenta il modulo di circa 7db, e dovrebbe anticipare le fasi di circa 60°.

Allora avremo:

I diagrammi di bode risultanti:

numericamente otteniamo:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A questo punto inseriamo due reti attenuatrici per abbassare il modulo:

Sceliamo \omega\tau_{i}=30 con m_{i}=13, questa rete diminuisce il modulo di circa 5 db, e anticipa la fase di circa 50°

Allora avremo:

Inserendo queste reti nel controllore otteniamo i seguenti risultati:

Il grafico in blu è la nuova funzione, il grafico in verde è la funzione senza reti compensatrici. Notiamo che le specifiche in linea di massima sono rispettate e abbiamo la conferma da Matlab di tali risultati:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Il margine di fase è rispettato e il modulo è prossimo allo zero.

Il controllore progettato è il seguente:

SINTESI PER LA VARIABILE Y

FDT

La funziona a cui facciamo riferimento è la seguente:

Che scritta nella forma zeri/poi diventa:

SPECIFICHE DI SINTESI

Dato che le specifiche sono uguali e le funzioni di trasferimento differiscono di un coefficiente al numeratore, il controllore utilizzato per la variabile x può essere implementato anche in questo caso.

La funzione di trasferimento senza reti compensatrici ha il seguente andamento:

Applicando il controllore:

Otteniamo il seguente risultato:

Il diagramma in verde è il sistema senza reti compensatrici, quello in blu invece rappresenta il sistema con le reti compensatrici.

SINTESI PER LA VARIABILE \phi

FDT

La variabile da controllare è la \phi (l’angolo di imbardata) attraverso l’ingresso M_{z} e la funzione di trasferimento corrispondente è:

Si nota che la funzione è composta da solo due poli (di cui uno a parte reale positiva) con lo stesso valore assoluto, come si vede con il comando zpk che rappresenta la fdt in poli e zeri:

Considerando la P_{s} nella forma canonica di Bode (con il guadagno a numeratore):

si nota che il guadagno è negativo.

SPECIFICHE DI SINTESI

Viene richiesto di rispettare le seguenti specifiche:

1) \left |e_{1}\right |\leqslant 10.05

2) Poli a ciclo chiuso con parte reale minore o uguale a -0.15

3) Poli a ciclo chiuso con smorzamento maggiore o uguale a 0.7

Viene effettuata una sintesi con il luogo delle radici in quanto:

    • Poiché il processo non è stabile non si può attuare una sintesi in frequenza, poiché non esiste la risposta a
      regime permanente e di conseguenza non si possono tracciare i diagrammi di Bode.
    • Le specifiche richieste si possono tradurre più facilmente in una sintesi con il luogo delle radici.

La prima specifica si traduce con un opportuno valore di guadagno del controllore mentre le rimanenti specifiche
saranno raggiunti attraverso la sintesi con il luogo delle radici.

Sintesi del controllore

-Sintesi del controllore di primo tentativo

La prima specifica si traduce in un opportuno valore del guadagno del controllore . Viene richiesto un processo di tipo 1 con un errore a regime minore a 0.05. Poiché il processo è di tipo 0 al controllore occorre aggiungere un polo nell’origine inoltre poichè

Con K_{p} pari al guadagno del processo.

Avremo che deve essere verificato:

K_{g}>57

Il controllore di primo tentativo ha la seguente forma

\hat{G(s)}=\frac{K}{s}

La seconda specifica invece richiede che le radici abbiano, per dei valori di K, la parte reale minore di -0.15 mentre la terza specifica impone che stiano in una regione delimitata da:

\zeta=sin(\phi)

dove \zeta è il coefficiente di smorzamento.

La fdt di primo tentativo ha la seguente forma:

Si nota che:

  • Numero di poli (p)=3 in {0,-0.1235,0.01235}
  • Numero di zeri (z)=0Quindi n=p-z=3Il centro degli asintoti sarà quindi:

    A cui corrisponde il seguente grafico del luogo delle radici:

    Per soddisfare le specifiche dobbiamo spostare il centro degli asintoti e lasciare invariata la differenza poli zeri della funzione di trasferimento finale (prima del controllore di primo tentativo n-m era 2 mentre ora è
    3). Occorre aggiungere uno zero al controllore per bilanciare il numero di poli-zeri e poi aggiungere una coppia polo/zero per poter spostare il centro degli asintoti.

    Si è scelto il primo zero di valore abbastanza piccolo, appartenente sempre alla regione ammissibile. Si
    sceglie S=-0.5 :

    Si sceglie una coppia zero/polo che sposti il centro degli asintoti a -6 (valore arbitrario); ponendo lo zero pari a -1 e inserendolo nell’equazione del centro degli asintoti:

    e quindi

    p\approx 9.5

    Infine la fdt del controllore è:

    Di seguito viene riportato il luogo delle radici corrispondente:

    Si nota che dopo un certo valore di K, i poli della f.d.t a ciclo chiuso entrano nella regione ammissibile tuttavia dato che il valore del guadagno è molto elevato (quasi 30000), e che ci sono dei valori dei poli con parte
    immaginaria diversa da 0, abbiamo proceduto ad un tuning dei parametri dei poli e zeri manipolabili.Gli effetti di tali operazioni sono:

  • Avvicinamento degli zeri del controllore alla regione di specifica, per la precisione portandoli entrambi a -0.2
  • Spostamento del polo a -10
    Grazie a questo procedimento si è creato un punto singolare che ha modificato il luogo delle radici in questo modo:

 

Tali operazioni hanno:

  • abbassato il valore del guadagno
  • fatto entrare poli/zeri nella regione di specifica
  • tutti i valori dei poli a ciclo chiuso sono realiIl controllore progettato è il seguente:Quindi K deve essere maggiore di 14250 ma per questo valore le specifiche 2 e 3 non vengono rispettare. Dal grafico risulta che un valore di K per cui sono rispettate tali specifiche è 260.000 per il quale le soluzioni:
  • sono tutte minori di -0.15
  • sono tutte reali (quindi massimo smorzamento).

In definitiva il controllore è:Equivalente a:Per questo la fdt nella catena diretta F(s) assumerà la seguente forma:

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By Automazione Open Source | dicembre 27th, 2011 | LEAVE A COMMENT