Rollio di una nave: modello matematico e linearizzazione


Una delle qualità principali che una nave deve possedere è la stabilità, ovvero la capacità di tornare nelle sue condizioni iniziali quando è cessata la causa che ne ha generato lo sbandamento; tale proprietà garantisce una buona navigazione anche in condizioni critiche. Lo sbandamento può essere analizzato e corretto andando a smorzare in modo rapido le sue oscillazioni.

Un corpo solido ha tre gradi di rotazione:

[*] intorno al proprio asse longitudinale detta rollio (roll)
[*] intorno al proprio asse trasversale detta beccheggio (pitch)
[*] intorno all’asse passante per il centro di massa detta imbardata (yaw)


Prima di presentare l’equazione che governa l’angolo di rollio di un natante, è bene introdurre alcuni concetti di architettura navale.

CONCETTI BASE DI ARCHITETTURA NAVALE


[*] M= metacentro trasversale, è il punto di incontro, tra la retta di spinta (retta passante per il centro di spinta) a nave dritta e la retta di spinta a nave sbandata (di un massimo di 10°) .
[*] C= centro di spinta, o centro di carena, è il punto di applicazione della forze archimedea; essa cade sempre sulla perpendicolare alla WL (water line o linea d’acqua) passante per il metacentro M.
[*] G= baricentro della nave
[*] r=M-C raggio metacentrico trasversale
[*] a=G-C distanza baricentrica più sono vicini questi punti maggiore è la stabilità della nave, in quanto aumenta il braccio della coppia raddrizzante (vedi in seguito)
[*] MG=r-a corrisponde all’altezza metacentrica o raggio metacentrico; questo valore dà un’idea della capacità della nave di reagire a cause sbandanti esterne nell’intorno della sua posizione diritta. Tale valore è strettamente legato all’equilibrio della nave infatti essa è:

[*] stabile per MG>0 il baricentro è al di sotto del metacentro, la coppia raddrizzante tende a contrastare la coppia sbandante
[*] instabile MG<0 situazione opposta, la coppia generata dal momento sbandante, non contrasta quest’ultima ma agisce allo stesso suo modo
[*] indifferente MG=0 baricentro e metacentro coincidono

INTRODUZIONE ALLA FISICA DEL PROCESSO

CONDIZIONI STATICHE
In generale un corpo immerso è soggetto a due forze:

[*] la forza peso d applicata al baricentro G del corpo, con direzione verticale, diretta verso il basso e di intensità uguale al peso del corpo.
[*] la spinta di galleggiamento s applicata al centro di spinta C del volume di carena, verticale diretta verso l’alto e d’ intensità uguale al peso del volume del liquido spostato dal corpo; tale spinta deriva dal noto principio di Archimede:

“Un corpo totalmente o parzialmente immerso in un fluido in quiete riceve una
spinta dal basso verso l’alto pari al peso del volume del liquido spostato”.

Dato che entrambe le forze hanno stesso modulo e direzione ma verso opposto, la loro risultante è nulla.

CONDIZIONI DINAMICHE (forze esterne agenti)
Consideriamo la nave inclinata di un angolo \alpha:

In questa configurazione, le forze in gioco sono le stesse, tuttavia la risultante non è più nulla. La forza di gravità è identica alla situazione precedente, stesso modulo=m*g stessa direzione e verso. Per ciò che riguarda la spinta idrostatica, essa mantiene verso e modulo. D’altra parte occorre tener conto che il centro di spinta C, si sposta in quanto varia la porzione di nave immersa in acqua; esso è sempre collocato nella retta perpendicolare alla WL e passante per M. Tale osservazione implica che il centro di carena C si sposta in C', e che di conseguenza la spinta idrostatica agirà in tale punto.

Le forze di gravità ed idrodinamica agendo su rette parallele, generano una coppia raddrizzante C_{r}(t) che tende a riportare il corpo nella posizione di equilibrio; in altre parole la loro azione è tale da contrastare la causa che l’ha generata. Tale coppia ha braccio pari al segmento GK, con K proiezione ortogonale di G sulla retta d’azione della spinta idrostatica s.

C_{r}=F*r=mg*GK=mg*MG*sin(\alpha)=mg*(r-a)*sin(\alpha)

 

N.B Il metacentro è un punto fisso per angoli di inclinazione inferiori ai 10°, nel caso in cui l’angolo di rollio supera tale valore, il metacentro reale si allontana dal punto M e di conseguenza, cambia l’espressione del braccio della coppia ovvero:

C_{r}=mg*[(r-a(1+1/2tan^2\alpha))*sin(\alpha))

 

MODELLO MATEMATICO
L’equazione del moto del rollio, è data dall’ equilibrio di forze ovvero:

Mi + Me = 0 Mi = momento della forza d’inerzia
Me = momento delle forze esterne applicate, scomponibile in tre componenti:

[*] smorzamento idrodinamico J\frac{\mathrm{d}\alpha (t) }{\mathrm{d} t}  con J coefficiente di attrito viscoso
[*] coppia raddrizzante C_{r}(t) [*] coppia sbandante d(t)=3 sen(t)+0.5 sen(0.3t)

l’angolo di rollio è governato dalla seguente equazione differenziale non lineare di secondo ordine.

J\ddot{\alpha}=d-B\dot{\alpha}+P(a-r(1+\frac{1}{2}*tang^2\alpha)))sin\alpha

 

N.B i parametri sono caratteristici per una nave porta-container di medio tonnellaggio:

J= 0.62*10^8[\frac{kg*m*s^2}{rad}] è il momento di inerzia della nave
P= 10^7 [kg] è il dislocamento della nave, è il peso dell’acqua da essa spostata, per il principio di Archimede coincide con il peso della nave stessa.
B= 0.49*10^7 [\frac{kg*m*s}{rad}] coefficiente di attrito viscoso
r= 4.95 [m] è il raggio metacentrico trasversale
a= 4 [m] è la quota del baricentro

MODELLO IN AMBIENTE SIMULINK E LINEARIZZAZIONE

La linearizzazione di un sistema non lineare, ha come obiettivo quello di poter sfruttare le classiche e consolidate tecniche di sintesi del controllore (in w e con il luogo delle radici). La funzione non lineare ha la seguente forma:

\dot{x}(t)=f(x(t),u(t))

Dato che non è possibile scindere le variabili di stato e ingresso, occorre portare la funzione in un’altra forma, per mezzo di un vettore degli stati di equilibrio (opportunamente scelto dal progettista) x_{e} ed uno degli ingressi di equilibrio u_{e}; x_{e} e u_{e} devono essere scelti in modo tale che:

f(x_{e},u_{e})=0

Nel caso di angoli di rollio limitati, è possibile procedere con la linearizzazione per mezzo di sviluppo in serie di McLaurin troncata al primo ordine. In alternativa si ricorre al comando LINMOD di Matlab, per ricavare un modello in rappresentazione in spazio di stato.

Proseguendo per tale strada, per prima cosa si riporta l’equazione che governa il rollio in ambiente simulink.
Per effettuare la linearizzazione utilizziamo il comando linmod lanciato nella command line di Matlab, il quale prende come argomenti:

[*] X_{0}= stato intorno al quale si linearizza il sistema, ovviamente occorre scegliere il punto intorno al quale si intende far lavorare il sistema; in questo caso si è scelto \alpha(t)=0 [*] U_{0}= ingresso di equilibrio, ovvero l’ingresso necessario per manterene il sistema statico a partire dello stato di equilibrio considerato. Esso si ricava andando a sostituire lo stato di equilibrio nell’equazione dell’angolo di rollio.

N.B per poter utilizzare il comando linmod occorre specificare ingresso e uscita del sistema; a tale proposito, si utilizzano i blocchi simbolici: “In” da collegare al nodo sommatore al posto di u(t), e “out” da collegare subito dopo il secondo integratore. Entrambi i blocchi sono appartengono alla sezione “commonly used blocks”.

>>[A,B,C,D]=linmod(‘modello_rollio’,0,0)

A= [0 , 1.0000 ; -0.1532 -0.0790] B=

1.0e-07 * [0 ; 0.1613] C= [1 0] D=

0

queste sono le matrici restituite dal comando.

L’ultimo passo della linearizzazione è verificarne la bontà. A tale proposito, introduciamo il modello in spazio di stato in ambiente simulink (inserendo nel bloccetto “state space” le matrici restituite da linmod) e verificando che le uscite dei modelli (lineare e non lineare) coincidano o siano simili.

In questo caso la perfetta coincidenza è testimoniata dal seguente plot:

Riferimenti:
Lezioni di teoria e cotruzione navale
Tesi di laurea

Francesco Celiberti

Ciao a tutti,


mi chiamo Francesco, sono laureato in Ing. Informatica e dell’Automazione. Sono attualmente coinvolto in un progetto di ricerca Europeo, MOTORIST. www.motorist-ptw.eu


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By Francesco Celiberti | agosto 10th, 2011 | SHOW COMMENTS (5)

5 Responses

  1. Simone says

    Secondo me, per una valutazione che si avvicini più al caso reale, è necessario completare il modello con l’altra equazione cardinale della dinamica, quella del moto del baricentro, per intendersi (le due equazioni sono interconnesse, oscillazione verticale ed orizzontale e oscillazione angolare si influenzano vicendevolmente), ed aggiungere eventuali disturbi dati dal moto ondoso sulla valutazione della spinta idrostatica.
    Buon lavoro! 🙂

  2. Geeno says

    Ragazzi… cosa dire?
    I miei coglioni!!!! Davvero bravi, continuate così!
    Sito interessantissimo!

  3. Marco (il Piccolo) Pinti says

    Bell’articolo Fra…complimenti, anzi, “comblimendi”!!! Sarebbe bello vedere anche qualche applicazione proprio in questo ambito di sistemi di stabilizzazione automatici!!

    • Francesco Celiberti
      fra_celi says

      sarebbe bello si!!! purtroppo l’unica cosa che possiamo fare è simulare, il prossimo post tratterà del controllo del rollio e ci sarà una simulazione 3D che metterà in risalto le differenze comportamentamentali della nave in presenza/assenza di controllo!

      • Luca Panebianco
        tr3ntdir says

        E se servirà un tutorial sul toolbox di simulink per le simulazioni 3d! 😀