Conosciamo i pid

Premetto che l’articolo è stato prelevato da una rielaborazione degli appunti del corso di Controlli Automatici e Metodi e Tecniche per l’automazione.

I regolatori industriali sono dei dispositivi di controllo che vengono utilizzati ogni volta che vogliamo tenere costante un valore o una grandezza fisica.

Il sistema ad ingressi costanti deve rispondere con uscite costanti, niente di meno che il principio fondamentale di un sistema di controllo. Quindi se in uscita è presente un disturbo o un errore che tende a squilibrare l’uscita stessa, allora il regolatore industriale deve fare in modo che quell’ errore venga corretto senza troppe oscillazioni.

Riportiamo schematicamente i vantaggi e gli svantaggi dei PID:

VANTAGGI:

  • non abbiamo bisogno del modello del processo
  • si trovano PID commerciali a prezzo relativamente basso
  • non sono costruiti ad Hoc ma su scala industriale
  • semplicità di realizzazione in diverse tecnologie
  • efficacia per la regolazione di un ampia gamma di processi
  • standardizzazione con i relativi vantaggi in termini di affidabilità ed economicità
  • semplicità di taratura
  • possibilità di taratura automatica
  • SVANTAGGI:

  • Non conoscendo il modello devo impostare i vari parametri empiricamente.
  • le prestazioni in termini di tempi di risposta non sono eccellenti, dato che lo scopo principale del pid è quello di seguire un riferimento costante che non varia repentinamente (come avviene nei processi industriali)
  • aumento delle oscillazioni è dovuto al fatto che se il processo possiede delle coppie di poli complessi coniugati aumentando il guadagno i poli nel piano complesso si spostano verso l’alto diminuendo lo smorzamento
  • Come suggerito dal nome stesso, PID, sono le iniziali delle tre azioni messe in atto da questa tipologia di controllori, analizziamo in dettaglio cosa si intende:

    AZIONE PROPORZIONALE

    È l’azione più intuitiva. Viene utilizzato prevalentemente quando si cerca di mantenere un determinato valore dell’uscita costante. Viene chiamata azione proporzionale poiché la correzione impressa dal PID è proporzionale all’errore commesso:

    correzione del pid= K*Errore

    quindi lega in modo diretto correzione ed errore.

    I vantaggi dell’azione proporzionale sono i seguenti:

  • aumentando il guadagno miglioro la risposta a regime poiché l’errore per K->inf è nullo .
  • Ad esempio per sistemi di tipo 0:

     e= W_e (s)=\frac {k_d^2}{k_d+k_G }

    per sistemi di tipo 1:

    e= W_e (s)=\frac{k_d^2}{k_G}

    Se K_g\rightarrow \infty \Rightarrow  e_i  \rightarrow 0

    e quindi miglioro la risposta a regime

  • Aumento della banda passante quindi lo spostamento della pulsazione di attraversamento verso destra e di conseguenza si riducono gli effetti delle variazioni parametriche.
  • Svantaggi dell’azione proporzionale:

  • Riduce i margini di stabilità per un eccesso poli / zeri <3
  • Problematiche sul transitorio:

    se la banda passante aumenta allora il tempo di salita diminuisce ma c’è anche un incremento delle oscillazioni e una sovra elongazione accentuata.

  • AZIONE INTEGRALE

    Come ci suggerisce il termine stesso, l’azione integrale effettua un integrale dei termini dell’errore nel tempo.

    I= \int K_i e(t) dt

    In pratica questo termine effettua la somma degli errori nel tempo e “ricordando” i valori da esso assunti nel passato è in grado di smorzare le oscillazioni del termine proporzionale. Il termine integrale aumenta il modulo alle basse frequenze cioè il guadagno per jw->0 è pari idealmente ad infinito.

    Il sistema viene reso astatico rispetto ai disturbi e viene messo a monte del disturbo stesso.

    La risposta a regime risulta anche in questo caso vantaggiosa(elimina del tutto l’errore).

    Il danno di questo termine è individuabile nella prontezza e nella stabilità.

  • Prontezza: Sostanzialmente per semplice analogia possiamo associare lo studio del termine integrale con un polo nell’origine e quindi con un intuitiva analisi modale, sappiamo che un polo nell’origine porta l’evoluzione del sistema a non estinguersi mai (in effetti più i poli del sistema sono distanti e più la loro evoluzione vanno a zero più velocemente).

    Inoltre il termine integratore introduce anche un ritardo che comporta non solo un aumento del tempo di salita ma anche delle sovraelongazioni.

  • Stabilità: un polo nell’origine come ben sappiamo da un contributo di fase di  -\frac{\pi}{2} in w_0=0 allora ci potremmo trovare in condizioni di instabilità se ci fosse un significativo aumento del guadagno(il margine di fase diventa sempre più piccolo). L’integratore agisce con un ritardo proporzionale al tempo di integrazione.
  • AZIONE DERIVATIVA

    La rapidità della risposta del sistema di controllo è affidata al termine derivativo:

    D= K_D \frac{\partial e}{\partial t}

    Il termine derivativo migliora la stabilità poiché anticipa la fase di π/2 a tutte le frequenze e solitamente eleva i moduli alle alte frequenze(può portare in banda disturbi alle alte frequenze). Migliora la prontezza poiché può eliminare eventuali poli nell’origine che compromettono, con ritardi, il raggiungimento della risposta a regime.

    Se l’errore tende a diminuire allora la correzione viene aumentata non proporzionalmente, ma in base alla velocità di variazione. Quindi accelera o decelera l’intervento del regolatore in modo dinamico seguendo la tendenza dell’errore e “prevede” nella prossima lettura l’andamento dell’errore. A regime permanente l’errore, aumentando il guadagno, tende a crescere e amplifica il modulo alle alte frequenze lasciando passare rumori, sollecitazioni e sforzi degli attuatori. Dato che il termine derivativo (zero nell’origine) non è fisicamente realizzabile viene utilizzato insieme alle altre azioni che abbiamo descritto precedentemente.

    Riferimenti

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    Vincenzo Cicogna

    Editore e autore di questo blog di notte, sviluppatore software per sistemi embedded di giorno, passa il suo tempo a dilettarsi ed approfondire le dinamiche del mondo.

    Appassionato di droni e tuttala, si diletta di tanto in tanto a scattare qualche foto in giro per il mondo o a leggere qualche libro.

    Ama viaggiare, fotografare e condividere le sue produzioni.


    By Vincenzo Cicogna | luglio 4th, 2011 | LEAVE A COMMENT