Aircraft pitch dynamic

93.000 circa, questo è il numero di voli stimato giornalmente nel 2008, forse questo video di youtube rende l’idea più intuitiva. Ogni puntino giallo è un aeroplano, che in  può contenere dalle 50 ai 500 posti.

I  numeri precendentemente elencati sono frutto di passione e anni di sforzo e ricerca, ma anche di catastrofi e incidenti, mettere in volo un oggetto con una massa non indifferente, non è stato un lavoro semplice, ma frutto di studi che sono attualmente portati avanti.

Con questo breve post, verranno:
1)analizzate le principali componenti di forza che agiscono su un aeroplano
2)modellata la dinamica dell’angolo di beccheggio (pitch angle).

Il profilo alare

lift2

L’ala di un aeroplano ha una particolare forma chiamata “profilo alare”.  Come mostra la figura precedente se immaginassimo di sezionare  un aeroplano, quello che ne risulterebbe è un congiunto di profili alari.

profilo_parti_p_o

PROFILO ALARE
AOA= angolo d’attacco

Nomenclatura:

[*]profilo alare (airfoil):  è la forma della sezione dell’ala
[*]bordo di attacco: punto geometricamente più avanzato del profilo
[*]bordo di uscita: punto geometricamente più arretrato del profilo
[*]corda: linea retta che unisce bordo d’attacco con bordo d’uscita
[*]dorso: linea che delimita superiormente il profilo
[*]ventre: linea che delimita inferiormente il profilo
[*]linea di inarcamento medio: linea che unisce punti equidistanti tra dorso e ventre

Dopo questa breve analisi della geometria del profilo alare, veniamo al dunque, ovvero al come un aereo si tiene in volo nonostante la sua massa. Come tutti sappiamo un oggetto dotato di massa è soggetto ad una forza agente verticalmente, detta forza di gravità, l’obiettivo è quindi contrastare tale forza al fine di ottenere un equilibrio. La risposta è data da Bernoulli. Consideriamo il moto relativo di un profilo alare rispetto all’aria. Il flusso d’aria investendo il profilo nel bordo d’attacco, si separa in due parti, una che scorre sul ventre con velocità v1, l’altra che scorre sul dorso con velocità v2.  Il profilo alare ha una geometria tale che v2>v1.

Per il principio di Bernoulli si ha:

“La pressione che un fluido esercita lungo la direzione perpendicolare al suo moto è inversamente proporzionale alla sua velocità”  —> velocità fluido applet

Detto ciò e assumendo che v2>v1 si ha che la differenza di velocità dell’aria sul profilo genera una differenza di pressione tra la superficie superiore (pressione minore) e quella inferiore (pressione maggiore).

pdp_p_o

PROFILO ALARE
Vr= vento relativo
Ddp= differenza di pressione
Pv= pressione ventrale

Sommando tutte le forze ortogonali alla superficie alare, si ottiene la forza aerodinamica con punto di applicazione nel punto neutro o centro aerodinamico (punto ad 1/4 dalla corda). Di tale forza si considerano due componenti, una perpendicolare alla direzione del vento relativo, ovvero la portanza L (lift), l’altra parallela, ovvero la resistenza D (drag). Al fine di garantire condizioni di regime, occorre che la portanza eguagli la forza peso.

forces_p_o

Vr vento relativo
Lf portanza (lift)
Df resistenza (drag)
Faer risultante areodinamica

Forze agenti sull’aeroplano

L’approccio che viene generalmente seguito nello studio della dinamica di un oggetto è quello di considerare il velivolo come un corpo rigido sul quale agiscono diverse forze: gravitazionali, aerodinamiche e propulsive.
La somma delle forze che agiscono sul profilo alare sono quelle che complessivamente agiscono sull’intero velivolo:

forces

L’assetto dell’aereo è regolato per mezzo della deflessione di superfici, ovvero:

[*]rudder, controlla l’angolo di yaw
[*]elevators controllano l’angolo di pitch
[*]ailerons controllano l’angolo di roll

 

actuators

Pitch dynamic

pitchLe equazioni che governano, il moto di un aeroplano sono complicate, e consistono in un insieme di 6 equazioni non lineari accoppiate. Tuttavia sotto certe assunzioni, esse possono essere linearizzate in equazioni che regolano la dinamica laterale e longitudinale. L’angolo di pitch è modellato dalla dinamica longitudinale.

d1


u velocità asse x
w velocità asse z
m massa corpo
I_{yy} inerzia attorno all’asse z
g costante gravitazionaleX attuazione lungo asse x
Z attuazione lungo asse z
M attuazione attorno all’asse z

da notare che le velocità lungo gli assi x e z non dipendono solo dall’attuazione e dalla forza peso, ma anche dal contribuito di forza dovuto al fatto che il velivolo ruota attorno all’asse perpendicolare al piano x-z, e quindi dalla dinamica di q. Per questo nella dinamica si inserisce il prodotto vettoriale tra pitch rate q e velocità lineare “w” o “u” . Sostituendo le componenti cartesiane da componenti polari e  le forze lungo X e Z con le forze di lift T, drag D e thrust T si ottiene:

d2

T thrust force
D drag force
L lift force
i angolo di incidenza del vettore di thrust rispetto alla corda
V velocità lineare corpo, piano x-z
Gamma flight path vector (angolo di rotta), ovvero l’angolo tra il vettore velocità e l’orizzonte
Theta Pitch angle
q Pitch rate

sostituendo alpha  si ottiene il seguente sistema di equazioni, non lineare.

d3

Il passo finale è quello di trovare una condizione di Trim e linearizzare intorno ad esso la dinamica non lineare. La condizione di Trim (Trimmed Condition), la quale consiste essenzialmente nel punto di equilibrio della dinamica non lineare si trova, imponendo le variabili di modello uguali a costanti, ciò implica che le loro velocità sono nulle.

d4

Una volta trovato il punto di lavoro del sistema dinamico si passa al processo di linearizzazione il quale non viene trattato in questo post. Durante il processo di linearizzazione bisogna prendere in considerazione le assunzioni fatte:

1) aeroplano in stato di altezza e velocità costante
2) forza peso e di portanza (lift) si bilanciano tra di loro
3) cambio dell’angolo di pitch non cambia la velocità dell’aereo in ogni circostanza (assunzione non realistica, ma utile per la semplificazione del problema).

Sotto queste assunzioni la dinamica linearizzata del movimento longitudinale corrisponde al seguente set di equazioni:

d5

CD coeff. resistenza aria
CL coeff portanza
CW coeff pedo
CM coeff momento di beccheggio

dove:

mu

rho densità aria circostante
S superficie ala
c lunghezza media corda alare
m massa aeroplano

omega

U velocità di volo all’equilibrio

sigma

eta

Nella dinamica linearizzata si considera

[*] input angolo di deflessione degli elevators  -> delta
[*] output angolo di pitch -> Theta

A questo punto l’ultimo passo consiste nel dare dei valori numerici ai coefficienti e riportare le equazioni del modello linearizzato, sotto forma di matrici, ovvero esprimere il sistema nello spazio di stato, in cui lo stato è composto da angolo di attacco, pitch angle e pitch rate.

I valori considerati, corrispondono alla famiglia dei Boing commerciali.

values

Space State

Il sistema nello spazio di stato assume la seguente forma:

ss0

ss01

sostituendo le matrici A B e C si ottiene:

ss

ss1

Transfer function

Ricorrendo alla trasformata di Laplace, e applicandole al sistema di equazioni del modello linearizzato, si ottiene la rappresentazione con funzione di trasferimento, la quale descrive l’andamento dell’angolo di pitch dell’aeroplano assumendo condizioni iniziali nulle.

tf

Una volta rappresentata la dinamica del sistema, in spazio di stato o nel piano s, è possibile effettuare analisi delle prestazioni del sistema a ciclo aperto e chiuso, e sviluppare un sistema di controllo al fine di stabilizzare o migliorarne le prestazioni.

Riferimenti

[1] F. Celiberti, Progettazione e sviluppo di procedure di controllo per l’inseguimento di traiettorie di velivoli autonomi, 2012

 [2] CTMS

Francesco Celiberti
Ciao a tutti,

mi chiamo Francesco, sono laureato in Ing. Informatica e dell'Automazione. Sono attualmente coinvolto in un progetto di ricerca Europeo, MOTORIST. www.motorist-ptw.eu
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By Francesco Celiberti | maggio 28th, 2013 | LEAVE A COMMENT